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대출 잔액

$$B_k = P\frac{(1+r)^n - (1+r)^k}{(1+r)^n - 1}$$

변수

기호 이름 단위 설명
$B_k$ Remaining loan balance currency Outstanding principal after k payments have been made.
$P$ Original principal currency Total loan amount at origination.
$r$ Monthly interest rate decimal Annual rate divided by 12.
$n$ Total instalments months Full loan tenure in months.
$k$ Payments made months Number of EMI payments already made.

대출 잔여 잔액 공식

표준 상환 대출에서 k회의 월 상환을 마친 후 남은 미상환 원금은 다음과 같습니다:

$$B_k = P \times \frac{(1+r)^n - (1+r)^k}{(1+r)^n - 1}$$

이 공식은 대출 기간 중 어느 시점에서든 정확히 얼마가 남았는지 알려줍니다.

잔액이 초반에 천천히 줄어드는 이유

상환 대출에서는 초기 상환금 대부분이 이자입니다. 원금 상환 속도는 시간이 지날수록 가속화됩니다:

연 8%, 20년(240개월), EMI ≈ $1,672인 $200,000 주택대출의 경우:

상환 횟수 잔액 상환 비율
12회(1년) $196,350 1.8%
60회(5년) $180,736 9.6%
120회(10년) $152,143 23.9%
180회(15년) $106,303 46.8%
240회(20년) $0 100%

대출 기간의 절반(20년 중 10년)을 상환했어도 원금의 23.9%만 상환된 상태입니다. 이러한 원금 상환의 '후반 집중' 현상은 초기 몇 년 안에 이루어지는 주택담보대출 재융자가 차입자가 기대하는 것보다 절감액이 적은 이유입니다.

활용 사례

  • 재융자 결정: 새 대출을 신청하기 전에 잔액을 파악합니다
  • 조기 종결 계산: 중도상환 금액을 산정합니다
  • 주택 순자산: 미상환 잔액 = 현재 가치 − 순자산
  • 투자용 부동산 분석: 부채상환비율(DSCR)을 계산합니다

유도 과정 및 역사

이 공식은 두 개의 별도 복리 계산에서 도출됩니다:

  1. 미상환 원금은 (상환이 전혀 없었다면) P(1+r)^k로 증가합니다
  2. 매 EMI 지급액은 미래의 의무를 줄입니다. k회 지급된 금액의 미래가치는 EMI × [(1+r)^k − 1] / r입니다

두 값을 빼면 B_k = P(1+r)^k − EMI × [(1+r)^k − 1] / r이 됩니다.

여기에 EMI 공식 EMI = P × r(1+r)^n / [(1+r)^n − 1]을 대입해 정리하면 위에서 제시한 표준 형태가 도출됩니다.

풀이 예제

After 5 years of a 20-year home loan

  1. (1+r)^n = (1.006667)^240 = 4.9268
  2. (1+r)^k = (1.006667)^60 = 1.4898
  3. B_60 = 200,000 × (4.9268 − 1.4898) / (4.9268 − 1)
  4. B_60 = 200,000 × 3.4370 / 3.9268
  5. B_60 = 200,000 × 0.87528 = $175,056

결과: Balance after 5 years = $175,056 (only $24,944 principal repaid)

Halfway through a car loan

  1. (1.00583)^60 = 1.4176; (1.00583)^30 = 1.1907
  2. B_30 = 25,000 × (1.4176 − 1.1907) / (1.4176 − 1)
  3. B_30 = 25,000 × 0.2269 / 0.4176 = 25,000 × 0.5432 = $13,580

결과: Balance at 30 months = $13,580 (54.3% of original loan remains)

예외 사항 및 한계

k = 0: B_0 = P(상환이 이루어지지 않아 잔액이 원래 원금과 같음).

k = n: B_n = 0(모든 상환이 완료되어 대출이 완전히 상환됨). 수치적으로 검증해 보는 것이 확인 방법입니다.

중도상환: 일시불 상환이 이루어지면 이 공식은 유효하지 않습니다. 중도상환이 있을 때마다 상환 일정이 변경됩니다.

이율 변경(변동금리 대출): 각 이율 구간마다 B_k를 별도로 계산해야 합니다.

실생활 적용

은행은 미상환 잔액을 보여주는 월별 대출 명세서를 생성하는 데 이 공식을 사용합니다. 주택담보대출 차입자는 대출을 조기에 종결하려면 얼마를 지불해야 하는지 계산하는 데 이를 사용합니다. 부동산 감정평가사는 재융자 자격을 위한 담보인정비율(LTV)을 계산하기 위해 미상환 주택담보대출 잔액과 부동산 가치를 비교합니다. 파산법원은 담보부 채무와 무담보 채무를 판단하는 데 미상환 잔액을 사용합니다. 회계 부서는 각 대출 상환금의 원금과 이자 구성 요소를 기록하는 데 이를 사용합니다.

이 공식 사용해 보기

Loan EMI Calculator